Точка доступа Delta D&D

08.09.2021

В январе, после того, как наши Блуждающие DM показывают критические попадания, кто-то из постороннего чата покровителя (Джошуа, но вы это знали) предложил постоянно заменять критические срабатывания Nat-20 в D&D взрывными кубиками урона. Это не то, что я когда-либо рассматривал для D&D, но статистические тонкости этого сразу застряли в моей голове. Давайте посмотрим на это немного подробнее. (Кто-то, вероятно, уже делал это в прошлом, но, как они говорят: «Это мой блог; таких много, но этот мой» или что-то в этом роде.)

Формула взрыва кости

Мне нужна была простая, закрытая формула для ожидаемого (среднего) значения от катания любого вида взрывающейся кости. Вот вам немного математики, чтобы я мог показать свою работу.

Существенный трюк / понимание / тактика заключается в следующем: скажем, мы хотим получить ожидаемое значение E взрывающегося d6. Существует 1/6 шанс получить любое из значений 1, 2, 3, 4, 5, а затем, в конце, такой же шанс получить значение (6 + E); то есть 6 плюс средний результат того же процесса снова и снова (рекурсивно, если хотите). В более общем смысле, для n-стороннего кубика у вас есть шанс 1 / n для каждого значения 1, 2, 3,. , n - 1, (n + E). Некоторая базовая алгебра решает это E:

$$ E = \ frac 1 n (1) + \ frac 1 n (2) +. + \ frac 1 n (n + E) $$

$$ E = \ frac n + \ frac 1 n E $$

Обратите внимание, что на 3-м шаге мы вычли \ (\ frac 1 n E \) с обеих сторон, получив в левой части значение \ (E - \ frac 1 n E = \ frac nn E - \ frac 1 n E = \ frac п Е \).

Какие еще есть способы написать это? Эта верхняя сумма 1 + 2 +. + n имеет имя, в частности (n-й) номер треугольника, который можно обозначить просто \ (T_n \). Это похоже на факториальную функцию, но с добавлением вместо умножения; и это последовательность A000217 в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Итак, мы могли просто написать:

Если вам это не нравится (и как вы смеете), мы могли бы использовать то, что я называю формулой Гаусса, чтобы заменить ее более примитивными операциями; \ (T_n = \ frac 2 \). Подставляя это в нашу формулу для E, мы получаем эту версию нашей формулы ожидаемого значения взрывающейся матрицы:

Обратите внимание, что ожидаемое значение для нескольких игральных костей - это число, умноженное на количество игральных костей; например, для 3d6 просто вычислите E для n = 6, а затем утроите его (математическое ожидание всегда является линейным оператором).

Таблица взрывающихся значений игральных костей

Здесь у вас есть таблица ожидаемых значений для наших стандартных, в основном, платонических игральных костей, как в обычном броске, так и в форме взрывающегося броска. Рассмотрим столбец соотношения в конце, который показывает эффективный множитель, который дает вам в среднем взрыв. Преимущество лучше всего для меньших кубиков; например, для d4 вы умножаете свое ожидание на 1⅓, а затем оно уменьшается для больших кубиков. И все же это преимущество не меняет порядок игры в кости; преимущество на d4 (которое мне нравится, скажем, делать кинжалы более опасными) даже не оправдывает ожиданий для стандартного (не взрывающегося) d6.

Тем не менее, следите за тем, чтобы в крайних случаях все получилось странно, если вы выйдете за пределы верхней или нижней части этой таблицы. Если у вас есть двухсторонняя или трехсторонняя механика игры в кости, эти ожидания от взрыва на самом деле одинаковы: E (d2exp) = E (d3exp) = 3. И теоретически взрывающаяся односторонняя игра может вызвать бесконечный урон! (Например, рассмотрите «обычную крысу» от Gygax в AD&D MMII с этим спецификатором урона; стандартное приключение 1-го уровня стало намногоопаснее.) С другой стороны, большие значения кубика имеют коэффициент выгоды, уменьшающийся до 1; в пределе для бесконечно-одностороннего кристалла не было бы никакой выгоды (ну, не то, чтобы она вам понадобилась).

Обратите внимание, что отношение ожидаемого урона от взрыва к нормальному имеет красивую короткую формулу. (Спасибо Дрю в Твиттере за то, что он заметил это по десятичным значениям выше.) Это:

Графики взрывающихся значений игральных костей

Вот еще одна вещь, которая, на мой взгляд, действительно изящна в механике взрыва штампа; распределение становится скошенным вправо (вместо равномерного или колоколообразного для нескольких игральных костей). Вот распределение вероятностей для взрывающегося 1d6 (от Troll Dice, повернутого на бок для более знакомого представления):

И, возможно, более наглядно, вот диаграмма взрыва 2d6 (как урон гигантам в оригинальном D&D):

Обратите внимание, как он плавно спускается на расширенной правой стороне. Насколько я понимаю, такие распределения с правым наклоном гораздо более распространены (на самом деле, единственное) для естественных или биологических процессов - у вас есть жесткий нижний предел (часто 0 или 1), но теоретически нет жесткого верхнего предела (на справа), и поэтому популяция / пространство выборки распределяется именно таким образом.

Фактически: знаменитый биолог-эволюционист Стивен Джей Гулд написал целую книгу, посвященную именно этому наблюдению: она называется Full House: The Spread of Excellence from Plato to Darwin.

Это убедительные результаты? (И знаете ли вы об этом?) Не могли бы вы использовать в своих играх D&D постоянно взрывающиеся кубики урона от оружия вместо триггера Nat-20?

Сергей Иващенко

08.09.2021

Подписывайтесь на наши социальные сети!